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<!DOCTYPE html>

<title>Nichtkommutative Geometrie</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Nichtkommutative Geometrie</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>nichtkommutative Geometrie</b> bezeichnet man in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> die Untersuchung nichtkommutativer <a href="C*-Algebra" title="C*-Algebra">C<sup>*</sup>-Algebren</a> mittels aus der Topologie stammender Invarianten wie <a href="K-Theorie" title="K-Theorie">K-Theorie</a> und <a href="Homologietheorie" title="Homologietheorie">Homologietheorien</a>. Sie wurde wesentlich von <a href="Alain_Connes" title="Alain Connes">Alain Connes</a> begründet und mit Vorarbeiten, die bis auf <a href="Israel_Gelfand" class="mw-redirect" title="Israel Gelfand">Israel Gelfand</a> zurückgehen, ausgebaut.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Motivation">Motivation</h2></div>

<p><a href="Lokalkompakter_Raum" title="Lokalkompakter Raum">Lokalkompakte</a> <a href="Hausdorff-Raum" title="Hausdorff-Raum">Hausdorff-Räume</a> sind <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologische Räume</a> und entsprechen kommutativen C<sup>*</sup>-Algebren, denn jedem lokalkompakten topologischen Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> kann die Algebra der <a href="C0-Funktion" title="C0-Funktion">im unendlichen verschwindenden</a>, <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplex-wertigen</a>, <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetigen Funktionen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {C} )}">

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</msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b7e0d717b94f8f027fd1a132efd4fa00814753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{0}(X,\mathbb {C} )}" loading="lazy"></span> zugeordnet werden. Zusammen mit der <a href="Maximumnorm" class="mw-redirect" title="Maximumnorm">Supremums-Norm</a> als Norm und der <a href="Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Konjugation">komplexen Konjugation</a> als Involution ist diese Algebra eine kommutative C<sup>*</sup>‑Algebra. Umgekehrt besagt der <a href="Satz_von_Gelfand-Neumark" title="Satz von Gelfand-Neumark">Satz von Gelfand-Neumark</a>, dass es zu jeder kommutativen C<sup>*</sup>‑Algebra <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> einen lokalkompakten Hausdorff-Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> mit einem C<sup>*</sup>‑Isomorphismus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\simeq C_{0}(X,\mathbb {C} )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\simeq C_{0}(X,\mathbb {C} )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a66da0f3c696daa47e4c813c0ad88b33dd1434f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\simeq C_{0}(X,\mathbb {C} )}" loading="lazy"></span> gibt.

</p><p>Invarianten topologischer Räume können deshalb auch als Invarianten kommutativer C<sup>*</sup>-Algebren aufgefasst werden.

</p><p>In der nichtkommutativen Geometrie werden Invarianten auch für nichtkommutative C<sup>*</sup>-Algebren definiert. Diese Invarianten orientieren sich an den Definitionen der Topologie und werden dann für die Untersuchung und Klassifikation der C<sup>*</sup>‑Algebren nutzbar gemacht. Zu solchen Invarianten gehören die <a href="Topologische_K-Theorie" title="Topologische K-Theorie">topologische K-Theorie</a>, die zyklische Homologie und die <a href="Hochschild-Homologie" class="mw-redirect" title="Hochschild-Homologie">Hochschild-Homologie</a> von C<sup>*</sup>-Algebren.

</p><p>Ein spezielleres Thema ist die Theorie der Spektraltripel. Diese sollen die Differentialgeometrie <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">riemannscher</a> <a href="Spin-Mannigfaltigkeit" class="mw-redirect" title="Spin-Mannigfaltigkeit">Spin-Mannigfaltigkeiten</a> verallgemeinern.

</p><p>Die Theorie wurde von Connes und <a href="Matilde_Marcolli" title="Matilde Marcolli">Matilde Marcolli</a> auch auf die Zahlentheorie angewandt. Der Versuch, die nichtkommutative Geometrie auch in der Physik anzuwenden, führte zum nichtkommutativen Standardmodell und zu nichtkommutativen Versionen der <a href="M-Theorie" title="M-Theorie">M-Theorie</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Alain Connes: <i>Noncommutative geometry.</i> Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994. ISBN 0-12-185860-X <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf">online (pdf)</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>José M. Gracia-Bondía, Joseph C. Várilly, Héctor Figueroa: <i>Elements of noncommutative geometry.</i> Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001. ISBN 0-8176-4124-6</li>

<li>Alain Connes, Matilde Marcolli: <i>Noncommutative geometry, quantum fields and motives.</i> American Mathematical Society Colloquium Publications, 55. American Mathematical Society, Providence, RI; Hindustan Book Agency, New Delhi, 2008. ISBN 978-0-8218-4210-2 <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.its.caltech.edu/~matilde/coll-55.pdf">online (pdf)</a></li>

<li>Masoud Khalkhali: <i>Basic noncommutative geometry.</i> EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009. ISBN 978-3-03719-061-6</li>

<li>Joseph C. Várilly: <i>An introduction to noncommutative geometry.</i> EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2006. ISBN 978-3-03719-024-1; 3-03719-024-8</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/notices/199707/index.html">Andrew Lesniewski, Noncommutative geometry, Notices AMS, 1997, Nr.7</a></li>

<li>Matilde Marcolli: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mpg.de/868944/forschungsSchwerpunkt?c=166386&force_lang=de"><i>Nichtkommutative Geometrie und Zahlentheorie.</i></a> Max-Planck-Gesellschaft</li>

<li>Alexander Schenkel: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.physik.uni-wuerzburg.de/fileadmin/11030230/Vortraege/Vortrag_schenkel.pdf"><i>Nichtkommutative Geometrie und Gravitation.</i></a> Berichtskolloquium Graduiertenkolleg 1147. Institut für Theoretische Physik und Astrophysik, Universität Würzburg, 13. Juli 2009</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ems-ph.org/journals/journal.php?jrn=JNCG">Journal of Noncommutative Geometry</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/notices/199707/index.html">Review von Henri Moscovici, Vaughan Jones, Notices AMS, August 1997</a></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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